索引
反常积分的推广从定积分到反常积分的推广定义6.1 反常积分(定义域无界)定义6.2 反常积分(值域无界)
反常积分的收敛判别法定义6.3 Cauchy主值定义6.4 绝对(条件)收敛定理6.1 比较判别法定理6.2 Cauchy判别法定理6.3 Abel-Dirichlet判别法
积分第二中值定理定理6.4 积分第二中值定理
反常积分的推广
从定积分到反常积分的推广
定义6.1 反常积分(定义域无界)
若函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在区间
[
a
,
+
∞
)
\left [ a,+\infty \right)
[a,+∞)(
a
∈
R
a \in \mathbb{R}
a∈R)上有定义,且
∀
A
>
a
\forall A > a
∀A>a, 若函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在
[
a
.
A
]
\left [ a.A \right ]
[a.A]上可积, 构造变上限积分
F
(
A
)
=
∫
a
A
f
(
x
)
d
x
F\left ( A \right ) =\int_{a}^{A} f\left ( x \right )dx
F(A)=∫aAf(x)dx, 若极限
lim
A
→
+
∞
F
(
A
)
=
lim
A
→
+
∞
(
∫
a
A
f
(
x
)
d
x
)
=
F
(
+
∞
)
−
F
(
a
)
\lim _{A\to +\infty }F\left ( A \right ) = \lim _{A\to +\infty }\left ( \int_{a}^{A} f\left ( x \right )dx \right )=F\left ( +\infty \right )-F\left ( a \right )
limA→+∞F(A)=limA→+∞(∫aAf(x)dx)=F(+∞)−F(a)存在且有限,则称反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
A
→
+
∞
(
∫
a
A
f
(
x
)
d
x
)
\int_{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx=\lim _{A\to +\infty }\left ( \int_{a}^{A} f\left ( x \right )dx \right )
∫a+∞f(x)dx=limA→+∞(∫aAf(x)dx)收敛。
定义6.2 反常积分(值域无界)
若函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在区间
[
a
,
b
)
\left [ a, b \right)
[a,b)(
a
,
b
∈
R
a ,b \in \mathbb{R}
a,b∈R)上有定义,且闭区间
[
a
,
b
]
\left [ a, b \right]
[a,b]上有且只有一个奇点
b
b
b,使得函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在奇点
b
b
b的任意邻域内无界,
∀
η
∈
(
a
,
b
)
\forall \eta \in \left ( a,b \right )
∀η∈(a,b), 若函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在
[
a
,
b
−
η
]
\left [ a,b-\eta \right ]
[a,b−η]上可积, 构造变上限积分
F
(
η
)
=
∫
a
b
−
η
f
(
x
)
d
x
F\left ( \eta \right ) =\int_{a}^{b-\eta } f\left ( x \right )dx
F(η)=∫ab−ηf(x)dx, 若极限
lim
η
→
0
+
F
(
η
)
=
lim
η
→
0
+
(
∫
a
b
−
η
f
(
x
)
d
x
)
=
F
(
b
−
)
−
F
(
a
)
\lim _{\eta \to 0^{+} }F\left ( \eta \right ) = \lim _{\eta \to 0^{+} }\left ( \int_{a}^{b-\eta } f\left ( x \right )dx \right )=F\left (b- \right )-F\left ( a \right )
limη→0+F(η)=limη→0+(∫ab−ηf(x)dx)=F(b−)−F(a)存在且有限, 则称反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
η
→
0
+
(
∫
a
b
−
η
f
(
x
)
d
x
)
\int_{a}^{b } f\left ( x \right ) dx=\lim _{\eta \to 0^{+} }\left ( \int_{a}^{b-\eta} f\left ( x \right )dx \right )
∫abf(x)dx=limη→0+(∫ab−ηf(x)dx)收敛。
反常积分的收敛判别法
定义6.3 Cauchy主值
若极限
lim
A
→
+
∞
∫
−
A
A
f
(
x
)
d
x
\lim _{A\to +\infty } \int _{-A} ^{A} f\left ( x \right )dx
limA→+∞∫−AAf(x)dx存在,则称其为反常积分
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{-\infty} ^{\infty} f\left ( x \right )dx
∫−∞∞f(x)dx的Cauchy主值。
定义6.4 绝对(条件)收敛
若反常积分
∫
a
+
∞
∣
f
(
x
)
∣
d
x
\int _{a}^{+\infty } \left | f\left ( x \right ) \right |dx
∫a+∞∣f(x)∣dx收敛,则称反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx
∫a+∞f(x)dx绝对收敛,若
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx
∫a+∞f(x)dx绝对收敛,则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx
∫a+∞f(x)dx一定收敛,对应的逆命题则不成立,将反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx
∫a+∞f(x)dx绝对收敛而发散的情形称为反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty } f\left ( x \right ) dx
∫a+∞f(x)dx条件收敛。
定理6.1 比较判别法
若在无界区间
[
a
,
+
∞
)
\left [ a,+\infty \right )
[a,+∞)上,
f
(
x
)
≤
k
φ
(
x
)
f\left ( x \right )\le k\varphi \left ( x \right )
f(x)≤kφ(x)(
k
>
0
k>0
k>0),则有如下判定: (1)
k
∫
a
+
∞
φ
(
x
)
d
x
k\int _{a}^{+ \infty }\varphi \left ( x \right )dx
k∫a+∞φ(x)dx收敛,则
∫
a
+
∞
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+ \infty } \left ( x \right )dx
∫a+∞(x)dx收敛; (2)
∫
a
+
∞
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+ \infty } \left ( x \right )dx
∫a+∞(x)dx发散,则
k
∫
a
+
∞
φ
(
x
)
d
x
k\int _{a}^{+ \infty }\varphi \left ( x \right )dx
k∫a+∞φ(x)dx发散。 极限形式为:
f
(
x
)
>
0
f\left ( x \right )>0
f(x)>0,
g
(
x
)
>
0
g\left ( x \right ) >0
g(x)>0,
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
l
\lim _{x\to +\infty }\frac{f\left ( x \right ) }{g\left ( x \right ) }=l
limx→+∞g(x)f(x)=l, (1)若
l
∈
[
0
,
+
∞
)
l\in \left [ 0,+\infty \right )
l∈[0,+∞),
k
∫
a
+
∞
φ
(
x
)
d
x
k\int _{a}^{+ \infty }\varphi \left ( x \right )dx
k∫a+∞φ(x)dx收敛,则
∫
a
+
∞
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+ \infty } \left ( x \right )dx
∫a+∞(x)dx收敛; (2)若
l
∈
(
0
,
+
∞
]
l\in \left ( 0,+\infty \right ]
l∈(0,+∞],
∫
a
+
∞
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+ \infty } \left ( x \right )dx
∫a+∞(x)dx发散,则
k
∫
a
+
∞
φ
(
x
)
d
x
k\int _{a}^{+ \infty }\varphi \left ( x \right )dx
k∫a+∞φ(x)dx发散。
定理6.2 Cauchy判别法
设
f
(
x
)
≥
0
f\left ( x \right )\ge 0
f(x)≥0, (1)若
f
(
x
)
≤
k
x
p
f\left ( x \right ) \le \frac{k}{x^{p} }
f(x)≤xpk,
p
>
1
p>1
p>1,则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx
∫a+∞f(x)dx收敛; (2)若
f
(
x
)
≥
k
x
p
f\left ( x \right ) \ge \frac{k}{x^{p} }
f(x)≥xpk,
p
≤
1
p\le 1
p≤1,则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx
∫a+∞f(x)dx发散。 (3)若
f
(
x
)
≤
k
(
b
−
x
)
p
f\left ( x \right ) \le \frac{k}{\left ( b-x \right )^{p} }
f(x)≤(b−x)pk,
p
<
1
p<1
p<1,则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx
∫a+∞f(x)dx收敛; (4)若
f
(
x
)
≥
k
(
b
−
x
)
p
f\left ( x \right ) \ge \frac{k}{\left ( b-x \right )^{p} }
f(x)≥(b−x)pk,
p
≥
1
p\ge 1
p≥1,则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx
∫a+∞f(x)dx发散。
定理6.3 Abel-Dirichlet判别法
(1)反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty } f\left ( x \right )dx
∫a+∞f(x)dx收敛,函数
g
(
x
)
g\left ( x \right )
g(x)有界; (2)定积分
F
(
A
)
=
∫
a
A
f
(
x
)
d
x
F\left ( A \right )=\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx
F(A)=∫aAf(x)dx有界,函数
g
(
x
)
g\left ( x \right )
g(x)单调且
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
0
\lim _{x\to +\infty } g\left ( x \right )=0
limx→+∞g(x)=0。 (3)反常积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b} f\left ( x \right )dx
∫abf(x)dx(
b
b
b为奇点)收敛,函数
g
(
x
)
g\left ( x \right )
g(x)单调有界; (4)定积分
F
(
η
)
=
∫
a
b
−
η
f
(
x
)
d
x
F\left ( \eta \right )=\int_{a}^{b-\eta}f\left ( x \right )dx
F(η)=∫ab−ηf(x)dx有界,函数
g
(
x
)
g\left ( x \right )
g(x)单调且
lim
x
→
b
−
g
(
x
)
=
0
\lim _{x\to b^{-} } g\left ( x \right )=0
limx→b−g(x)=0。
积分第二中值定理
定理6.4 积分第二中值定理
函数
f
(
x
)
f\left ( x \right )
f(x)在
[
a
,
b
]
\left [ a,b \right ]
[a,b]可积,函数
g
(
x
)
g\left ( x \right )
g(x)在
[
a
,
b
]
\left [ a,b \right ]
[a,b]单调,则
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
g
(
a
)
∫
a
ξ
f
(
x
)
d
x
+
g
(
b
)
∫
ξ
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f\left ( x \right ) g\left ( x \right )dx=g\left ( a \right )\int_{a}^{\xi }f\left ( x \right ) dx+g\left ( b \right )\int_{\xi }^{ b}f\left ( x \right ) dx
∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx+g(b)∫ξbf(x)dx(
ξ
∈
[
a
,
b
]
\xi \in \left [ a,b \right ]
ξ∈[a,b])。